Mithilfe von Chi-Quadrat-Tests werden zwei nominal oder ordinal skalierte Merkmale anhand von beobachteten Häufigkeiten ihrer Merkmalsausprägungen analysiert.
Dabei wird untersucht, ob zwei unabhängige Merkmale assoziiert sind oder es werden zwei abhängige Stichproben (zweimalige Beobachtung desselben Merkmals) auf Übereinstimmung geprüft.
Die Berechnung erfolgt anhand einer Kontingenztafel (Kreuztabelle), in der die jeweiligen Merkmale anhand Ihrer Merkmalsausprägungen gegenübergestellt werden. Jeder Eintrag in der Kontingenztafel entspricht der Anzahl Individuen, die die jeweilige Merkmalskombination aufweisen. In der letzten Spalte und untersten Zeile werden die Randsummen notiert.
Chi-Quadrat-Vierfeldertest nach Pearson
Der Chi-Quadrat-Vierfelder-Unabhängigkeitstest prüft die Unabhängigkeit zweier Alternativmerkmale einer Stichprobe (mit jeweils zufälligen Fallzahlen der beiden Merkmalsausprägungen), der Chi-Quadrat-Vierfelder-Homogenitätstest prüft zwei Stichproben mit vorgegebenen Fallzahlen) auf Homogenität bzgl. eines untersuchten Merkmals. (Die Berechnung der Teststatistik ist für beide Tests die selbe.)
Das Prinzip dieses Tests ist, die beoachteten Häufigkeiten in jeder Zelle mit den bei Unabhängigkeit erwarteten Häufigkeiten zu vergleichen. Je größer die Differenzen sind, desto mehr spricht dies für eine Abhängigkeit zwischen den beiden Merkmalen. Die erwarteten Häufigkeiten einer Zelle berechnen sich aus Zeilensumme × Spaltensumme / Gesamtzahl.
(Da bei stochastischer Unabhängigkeit P(M1|M2)=P(M1) ist.)
Kontingenztafel für den Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest:
Nullhypothese: M1 und M2 sind unabhängig, erwartete und beoachtete Häufigkeiten stimmen überein.
Voraussetzung:
Die erwarteten Häufigkeiten sind nicht kleiner als 5.
Die Prüfgröße wird wie folgt berechnet:
$$ Chi^2 = \dfrac{n * (ad - bc)^2}{(a+ b)(a + c)(c + d)(b + d)} $$
Die Testentscheidung fällt zugunsten der Alternativhypothese aus, falls:
$$ Chi^2 > \chi^2_{FG: 1 - \alpha} $$
Der Chi2-Vierfeldertest hat FG=1 Freiheitsgrad. α bezeichnet das Signifikanzniveau. Bei α=0,05 kann die Unabhängigkeitshypothese verworfen werden wenn Chi2 > 3,841.
(Quantile der Chi2-Verteilung sind tabelliert.)
Chi-Quadrat-Test für r×c-Feldertafeln
Der Chi-Quadrat-Test für Mehrfeldertafeln ist eine Verallgemeinerung des Chi-Quadrat-Vierfeldertests. Er prüft, ob eine Abhängigkeit zwischen zwei kategorialen Merkmalen M1 und M2 besteht.
M1 besitzt r Ausprägungen M2 c Ausprägungen, so dass sich r × c Kombinationen der Ausprägungen ergeben.
Nullhypothese: M1 und M2 sind unabhängig, erwartete und beoachtete Häufigkeiten stimmen überein.
Voraussetzung:
Maximal 20% der Zellen weisen erwartete Häufigkeiten < 5 auf,
keine Zelle besitzt eine erwartete Häufigkeit < 1.
Die Prüfgröße wird wie folgt berechnet:
$$ Chi^2 = \underset{\text{alle Zellen}}{\sum}\dfrac{(beobachtete - \text{erwartete H\"aufigkeit})^2}{\text{erwarteteH\"aufigkeit}} $$
Die Testentscheidung fällt zugunsten der Alternativhypothese aus, falls:
$$ Chi^2 > \chi^2_{FG: 1 - \alpha} $$
Der Chi2-r×c-Feldertest hat FG=(r-1)(c-1) Freiheitsgrade. α bezeichnet das Signifikanzniveau. Die Quantile der Chi2-Verteilung sind tabelliert oder können mithilfe von Statistikprogrammen (z.B. R) berechnet werden.
Anmerkungen:
Falls die Voraussetzungen nicht erfüllt sind, also zu kleine erwartete Häufigkeiten vorliegen, lässt sich die Unabhängigkeitshypothese alternativ mit dem exakten Test nach Fisher prüfen. Bei Mehrfeldertafeln empfiehlt es sich oftmals, Ausprägungen zusammenzufassen (solange dies aus medizinischer Sicht sinnvoll erscheint).
Mit dem Chi-Quadrat-Test lässt sich untersuchen, ob ein Zusammenhang zwischen zwei kategorialen Merkmalen besteht, nicht aber wie stark der Zusammenhang zwischen diesen ist.
Um die Stärke des Zusammenhangs zu quantifizieren, eignen sich bei Mehrfeldertafeln der Kontingenzkoeffizient nach Pearson oder das Assoziationsmaß von Cramér und speziell für 4-Felder-Tafeln der Phi-Koeffizient, der Q-Koeffizient von Yule oder der Verbundenheitskoeffizient von Yule.
Bei kleinen Fallzahlen (n < 60) sollte eine Kontinuitätskorrektur = Stetigkeitskorrektur bei der Berechnung der Testgröße vorgenommen werden, da die Chi-Quadrat-Verteilung eine stetige Verteilung ist, die Testgröße aber anhand diskreter Werte (Häufigkeiten) berechnet wird.
Weitere Chi-Quadrat-Tests (Auswahl)
Exakter Test nach Fisher:
prüft die Unabhängigkeit zweier kategorialer Merkmale auch bei kleinen erwarteten Häufigkeiten
McNemar-Test:
prüft zwei abhängige Alternativmerkmale oder die zweifache Messung eines Alternativmerkmals auf Übereinstimmung
Q-Test nach Cochran:
prüft mehrfach wiederholte Messung eines Alternativmerkmals auf Übereinstimmung
Symmetrietest nach Bowker:
prüft zwei abhängige kategoriale Merkmale oder die zweifache Messung eines kategorialen Merkmals auf Übereinstimmung anhand quadratischen Mehrfeldertafeln
Cochran-Armitage-Test auf linearen Trend:
prüft ein Alternativmerkmal und ein ordinal skaliertes Merkmal mit k Ausprägungen auf Unabhängigkeit
Test nach Mantel-Haenszel:
ermöglicht die kombinierte Prüfung mehrerer Vierfeldertafeln auf Unabhängigkeit (z.B. bei Stratifizierung)
