Der Mann-Whitney-U-Test vergleicht zwei unabhängige Stichproben hinsichtlich ihrer zentralen Tendenz. Der U-Test zählt zu den Lagetests und ist eine verteilungsunabhängige Alternative zum t-Test für zwei unabhängige Stichproben.
Nullhypothese:
Mit 50%iger Wahrscheinlichkeit (P=0,5) ist eine Beobachtung der einen Stichprobe größer als eine (beliebige) Beobachtung der anderen Stichprobe.
Voraussetzungen:
Die zu vergleichenden Stichproben sind unabhängig.
Die Stichproben haben ein mindestens quantitatives Skalenniveau und
weisen die gleiche (zumindest eine ähnliche) Verteilungsform auf.
Berechnung der Prüfgröße:
Zunächst werden alle Beobachtungen beider Stichproben aufsteigend der Größe nach sortiert. Entsprechend dieser Rangfolge wird jedem Wert eine Rangzahl zugeordnet. Anschließend werden die Summen der jeweiligen Rangzahlen pro Stichprobe bestimmt. Aus diesen Rangsummen berechnet man:
$$ U_1 = n_1 * n_2 + \dfrac{n_1(n_1 + 1)}{2} - R_1 \\U_2 = n_1 * n_2 + \dfrac{n_2(n_2 + 1)}{2} - R_2$$
R1 und R2 sind die Rangsummen und n1 und n2 die Stichprobenumfänge. (Dabei ist U1+U2 = n1*n2.)
Die Prüfgröße ist die kleinere der beiden Größen U1 und U2:
$$ U = Min(U_1, U_2) $$
Die Testentscheidung fällt zugunsten der Alternativhypothese aus, falls
U ≤ U(n1,n2,α), anderenfalls wird die Nullhypothese beibehalten.
Der kritische Wert U(n1,n2,α) wird durch das Signifikanzniveau α bestimmt sowie durch die Stichprobenumfänge n1 und n2.
Für nicht zu kleine Stichprobenumfänge (≥8) lässt sich die Prüfgröße U durch die Standardnormalverteilung approximieren.
Bindungen:
Bindungen sind Beobachtungen, die denselben Rang haben (dem Wert nach gleich sind), diesen wird die mittlere Rangzahl zugeordnet. Bindungen innerhalb einer Stichprobe beeinflussen die Prüfgöße U nicht, wohingegen Bindungen zwischen den Stichproben Einfluss auf den Wert U nehmen. Für diesen Fall gibt es korrigierte Formeln zur Berchnung von U, weitere Informationen dazu findet man in 'Angewandte Statistik' von Lothar Sachs und Jürgen Hedderich, Springer Verlag, 12. Auflage.
