Varianz und Standardabweichung zählen zu den Streuungsmaßen (Dispersionsmaßen). Sie eignen sich zur Beschreibung der Variablität von quantitativen Größen. Die Varianz ist die mittlere quadratische Abweichung der Messwerte vom Mittelwert und die Standardabweichung ist die Quadratwurzel aus der Varianz.
Varianz in der
Stichprobe:
$$ Var = \frac{\sum_{i=1}^{n}{(x_i - \tilde x )^2}}{n-1} $$
geschätzte Varianz in der
Grundgesamtheit:
$$ Var = \frac{\sum_{i=1}^{n}{(x_i - \tilde x )^2}}{n} $$
Standardabweichung:
$$ s= \sqrt{Var} $$
Im Gegensatz zur Varianz hat die Standardabweichung einen anschaulichen Bezug zum untersuchten Parameter, sie besitzt dieselbe Maßeinheit wie die untersuchte Größe.
Je nach Verteilung des untersuchten Parameters lassen sich mithilfe der Standardabweichung Bereiche um den Mittelwert angeben, in denen ein bestimmter Anteil aller Messwerte liegt:
Normalverteilung:
ca. 68% der Werte liegen innerhalb von einer Standardabweichung,
ca. 95% der Werte liegen innerhalb von zwei Standardabweichungen,
ca. 99,7% liegen innerhalb von drei Standardabweichungen
entfernt vom Mittelwert.
symmetrische und eingipflige Verteilung:
ca. 89% der Werte liegen innerhalb von zwei Standardabweichungen,
ca. 95% der Werte liegen innerhalb von drei Standardabweichungen,
entfernt vom Mittelwert.
schiefe oder mehrgipflige Verteilungen:
ca. 75% der Werte liegen innerhalb von zwei Standardabweichungen,
ca. 89% der Werte liegen innerhalb von drei Standardabweichungen,
entfernt vom Mittelwert.
Die Standardabweichung wird also sinnvollerweise immer zusammen mit dem Mittelwert genannt.
