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Mittelwert

Themengebiet: Deskriptive Statistik

Der arithmetische Mittelwert (oder auch Durchschnitt) berechnet sich aus der Summe der beobachteten Werte (xi), geteilt durch die Anzahl (n) der Beobachtungen:

 \tilde x = \frac{1}{n}*\sum_{i=1}^{n}{x_i}

Das arithmetische Mittel eignet sich als Maß für die zentrale Lage, wenn die betrachtete Größe quantitativ ist und eine annähernd symmetrische Verteilung aufweist. Der arithmetische Mittelwert ist empfindlich gegenüber Ausreißern.

 \tilde x_G = \sqrt[n]{x_1*x_2* \dots *x_n} \quad \mbox{wobei alle } x_i>0

Der geometrische Mittelwert dient zur Beschreibung von relativen Änderungen oder Verhältniszahlen zu jeweils gleichen zeitlichen Abständen. Durchschnittliche Wachstums- oder Zuwachsraten beispielsweise werden anhand des geometrischen Mittels beschrieben.

Immer dann, wenn sich die Veränderung einer Größe besser durch ein Verhältnis beschreiben lässt, als durch die absolute Differenz, ist es sinnvoll, den geometrischen Mittelwert als zentrales Lagemaß zu diskutieren.

Der harmonische Mittelwert wird als Lagemaß herangezogen, wenn es darum geht, Verhältniszahlen (Quotienten) zu mitteln, deren Zähler konstant sind (d.h., wenn sich nur der Nenner ändert).
Durchschnittliche Geschwindigkeiten oder Überlebenszeiten werden beispielsweise anhand des harmonischen Mittels angegeben. Die Formel zur Berechnung lautet:

 \tilde x_H = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+ \dots +\frac{1}{x_n}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{x_i}}} \quad \mbox{mit } x_i\neq 0

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