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Median

Themengebiet: Deskriptive Statistik

Der Median oder auch Zentralwert ist der Wert, der genau in der Mitte aller beobachteten Werte liegt, so dass er den gesamten Wertebereich in zwei Hälften trennt. Bei einer geraden Anzahl von Beobachtungen liegt er zwischen den zwei mittleren beobachteten Werten, bei ungerader Anzahl Beobachtungen ist der Median, der Beobachtungswert, der genau in der Mitte liegt.

Sortiert man die beobachteten Werte der Größe nach aufsteigend und vergibt für jeden eine Rangzahl: Min = x(1) ≤ x(2) ≤ …≤ x(n) = Max
so lässt sich der Median wie folgt berechnen:

 \tilde{x} = \begin{cases} x(\frac{n+1}{2}) &\mbox{f\"ur n ungerade}\\ \frac{x(\frac{n}{2}) + x(\frac{n}{2}+1)}{2} & \mbox{f\"ur  n gerade } \end{cases}

Der Median eignet sich als Maß für die zentrale Lage, wenn die beobachtete Größe ordinal skaliert ist (bei gleichen Abständen zwischen je zwei Ausprägungen) oder ein quantitatives Skalenniveau aufweist (insbesondere dann, wenn keine Normalverteilung vorliegt).

Der Median ist robust gegenüber Ausreißern. Stimmen Median und Mittelwert nahezu überein, so ist dies ein Hinweis darauf, dass die untersuchte Größe eine symmetrische Verteilung aufweist.

Der Pseudomedian einer Stichprobe ist der Median aller gemittelten Paare der Stichprobe:

 \tilde{x}^*=Median \Big\{\frac{d_i+d_j}{2},i\le&j \Big\}

Beispiel:
Stichprobenwerte: 2, 2, 3, 5
Median = 2.5

Pseudomedian = Median {2, (2+2)/2, (2+3)/2, (2+5)/2, 2, (2+3)/2, (2+5)/2, 3, (3+5)/2, 5} = Median {2, 2, 2.5, 3.5, 2, 2.5, 3.5, 3, 4, 5}
= 2.75

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